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By Euler L.

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Die Zähne der einzelnen Zahnräder rrögen ineinander greifen kèinnen. h. ul) des Ranges ~ n in der Il1lltiplikativen Gruppe ~: der positiven ratianalen Zahlen. Man gebe ein Erzeugendensystem dieser . Untergruppe an. b) Das gegebene System van n + 1 Zahnradtypen heiBe günstig, \\eln es nicht ntig- Direkte produkte 51 lich ist, oot einer gleichen Anzahl von Zalmradtypen eine Gruppe von Ubersetzungsverhältnissen zu gewinnen, die echt gröBer als die des gegebenen Systems ist. Man zeige: Das gegebene System von Zahnradtypen ist genau dann glinstig, wenn die zugehörige Gruppe der Ubersetzungsverhältnisse eine gesättigte Unterx gruppe vorn Rang n in ~+ ist.

Insbesondere ist ~IN nioht frei. te Produkte B e wei s. 1. Daher ist ZIN kein Sei ex: IN-+I eine injektive Abbildlmg. Bezüglich ~-M:Jdul. (ar)r ~ IN 1-+ (bi) i ~ I mit bi := 0 bei i 1= Bild ex tmd bi := ar bei i = ex(r), läBt sich 7l lN als llntergruppe von 711 auffassen. 3. Bemerkung 1. 1 zeigt =, daB AI kein freier A-M:Jdul ist für jede unendliche Menge I, tmd zwar ganz analog wie bei 1 = IN. Dieser letzte Fall erleichtert den Beweis nur in schreibtechnischer Hinsicht. 1 vergleiche = Aufgabe 1 zu diesem Anhang.

Satz. B e wei s. BXilIales linear unabhängiges Teilsystem aus. lll1rerierung dürfen wir annehnen, daB dies x 1 '··· ,xr ist. Es gilit ein ai 0 in A mit aixi Ii U := Ax 1 + ••• + Axr ' r + 1 ( i ( n. l1t van A mit a t 0, für das aV ç. U gilt. ,ays mit Y1' ••• 'Ys E V. Dann ist Y1' ••• 'Ys eine A-Basis van V. Sei nämlich 0 = b 1Y1 + ••• + br7s eine li- neare Relation über A. Erst recht ist àann 0 = a·O = ab 1Y1 + ••• + abr7s = b 1 (ay 1) + ••• + bs(ays)' woraus b 1 = ••. = b s = 0 folgt. Es bleilit noch zu zeigen, daB V van Y1' ••• 'Ys erzeugt wird.

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by Richard
4.2

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